Якась справжня математична магія!

Час просто впав на годину назад (у США). Дозвольте мені використати додаткову годину, щоб показати вам магію. Тут немає ніякої ілюзії, просто справжня магія. Ні хитрощів, ні помилок.

Дозвольте взяти чотирибуквене слово. ЯРМАРОК. Він має чотири непорожні префікси. F, FA, FAI та сам FAIR. Якби ви взяли N-буквене слово, у нього було б N непорожніх префіксів. Просто, чи не так?

Тепер дозвольте взяти анаграму цього слова, тобто інше слово, переставляючи букви. RAFI. Навіть у RAFI є 4 непорожні префікси. R, RA, RAF, RAFI. Незалежно від того, як ви переставляєте N буквене слово, воно завжди матиме N непорожніх префіксів.

А тепер дозвольте взяти нескінченно довге слово. Дозвольте мені представити букви слова за допомогою,

1, 2, 3, 4, 5, ….

Це нескінченно довге слово. Таку нескінченність називають нескінченною злічуваною, тому що ти можеш рахувати. Це найменша з відомих нескінченностей.

Звичайно, це незліченно нескінченне довге слово має незліченно нескінченну кількість префіксів, {1}, {1,2}, {1, 2, 3} тощо. Поки що просто.

Дозвольте мені переставити букви цього слова. Перш ніж переставляти, дозвольте мені вибрати дещо інше зображення кожного листа. Представлення листа дещо іншим позначенням нічого не змінює. Це все одно, що змінити FAIR на fair, це нічого не змінює.

Дозвольте взяти лист 58731, представити його як .13785, і лист 856, до .658 тощо. Тобто напишіть букву навпаки і поставте десяткову крапку на початку. Просте правило.

Отже, 1, 2, 3, 4, 5, …., 10, 11, 12, 13, …

стає,

.1, .2, .3, .4, .5, …, .01, .11, .21, .31 … тощо.

Я просто змінив подання кожного листа.

Тепер кожна буква є часткою від 0 до 1.

Тепер я переставляю всі ці літери у порядку збільшення їх дробового значення. Ну, я не можу представити це нове замовлення на папері, але оскільки я щойно переставив літери, вони все ще залишаються незліченно численними.

Тепер я беру всі префікси цього нового порядку.

Магія: Префікси незліченно незліченні. Незліченна нескінченність експоненціально більша за незліченну нескінченність. Це як 10 проти 2 ^ 10 (що становить 1024).

Будь-яке дійсне число від 0 до 1 однозначно представляється префіксом у цьому новому порядку, тобто префіксом усіх дробів, менших за це дійсне число. Кількість дійсних чисел від 0 до 1 незліченно нескінченна.

Що насправді тут сталося? Це парадокс. У математиці парадокс загалом не означає непослідовність. Це просто означає інтуїтивно зрозумілий. Це все одно, що взяти кулю, розірвати її, зібрати на дві однакові за розміром кулі. Тут я просто впорядкував послідовність, так що кількість префіксів стало експоненціально великим.

Це все ще залишається протиінтуїтивним, і все ще справжньою магією.

Спочатку ця публікація була опублікована за адресою https://www.linkedin.com/pulse/some-real-math-magic-kamal-jain/.

Kamal Jain люб’язно дозволив нам перекласти і опублікувати цю статтю.